【BFS】2024D-亲子游戏

题目描述与示例

本题练习地址：https://www.algomooc.com/problem/P3707

题目描述

宝宝和妈妈参加亲子游戏，在一个二维矩阵（N*N）的格子地图上，宝宝和妈妈抽签决定各自的位置，地图上每个格子有不同的糖果数量，部分格子有障碍物。

游戏规则是妈妈必须在最短的时间（每个单位时间只能走一步）到达宝宝的位置，路上的所有糖果都可以拿走，不能走障碍物的格子，只能上下左右走。

请问妈妈在最短到达宝宝位置的时间内最多拿到多少糖果（优先考虑最短时间到达的情况下尽可能多拿糖果）。

输入描述

第一行输入为N，N标识二维矩阵的大小

之后N行，每行有N个值，表格矩阵每个位置的值

其中：

• -3：妈妈
• -2：宝宝
• -1：障碍
• >=0：糖果数(0表示没有糖果，但是可以走)

输出描述

输出妈妈在最短到达宝宝位置的时间内最多拿到多少糖果，行末无多余空格

备注

地图最大50*50

示例一

输入

4
3 2 1 -3
1 -1 1 1
1 1 -1 2
-2 1 2 3

输出

9

说明

此地图有两条最短路径可到宝宝位置，都是最短路径6步，但先向下再向左可以拿到9个糖果

示例二

输入

4
3 2 1 -3
-1 -1 1 1
1 1 -1 2
-2 1 -1 3

输出

-1

说明

此地图妈妈无法到达宝宝位置

解题思路

最短路径长度level很容易使用BFS计算得到，即计算从妈妈位置(sx, sy)到宝宝位置(tx, ty)的BFS搜索层数即可。本题难点在于如何计算最短路径长度level下能够得到最多糖果。

某一个位置(x, y)，很可能是可以从不同方向进入多次的，如以下例子，从-3到-2的最短路径长度为4，但有多条路径可以到达终点。

暂时无法在飞书文档外展示此内容

标注搜索层数。

暂时无法在飞书文档外展示此内容

容易发现，对于BFS来说，只有当前层的位置都考虑过了之后（即得知到达该位置最多能拿到多少糖果之后），其下一层的位置才会被考虑。这显然是一种dp思想，满足dp的无后效性。

比如对于位置(1,1)而言（属于第二层），从上边或者从左边两个方向（属于第一层）均可以进入这个位置。在最短路径的限制条件下，不可能选择从右边或者从下边两个方向（属于第三层）进入这个位置。

暂时无法在飞书文档外展示此内容

因此，为了使得进入位置(1,1)获得的糖果数尽可能地多，我们会选择从上一层中获得糖果数更多的位置(0,1)进入这个位置。

构建出相应的二维dp数组。dp[i][j]表示进入位置(i, j)时能获得的最多糖果数。

第二次BFS过程只搜索level层。考虑BFS每一层搜索的过程中，从位置(i, j)进入位置(ni, nj)时dp[ni][nj]的更新，此时dp[i][j]的值已经从上一层搜索中确定了。构建对应的动态转移方程。若

• (ni, nj)不是孩子位置时。dp[ni][nj] = max(dp[ni][nj], dp[i][j] + grid[ni][nj])
• (ni, nj)是孩子位置时。dp[ni][nj] = max(dp[ni][nj], dp[i][j])

以上述例子为例，最终dp数组的结果为

暂时无法在飞书文档外展示此内容

在第二次BFS过程的具体实现中，需要解决一个矛盾点

• 每一个(nx, ny)只需要从其上一层的某一个(x, y)入队1次，这样才能保证不超时
• dp[nx][ny]的更新，必须考虑到其上一层的每一个(x, y)，这样才能保证dp[nx][ny]的正确性

其中一种解决方案是，把dp数组也作为check_list数组来使用，初始化dp数组中的每一个元素为-1。dp[nx][ny] == -1表示点(nx, ny)尚未被检查过，尚未入队。

if 0 <= nx < n and 0 <= ny < n and grid[nx][ny] != -1:
    if dp[nx][ny] == -1:
        q.append((nx, ny))
    if grid[nx][ny] != -2:
        dp[nx][ny] = max(dp[nx][ny], dp[x][y] + grid[nx][ny])
    else:
        dp[nx][ny] = max(dp[nx][ny], dp[x][y])

代码

Python

# 题目：【BFS】2023C-亲子游戏
# 分值：200
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：BFS
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问


from collections import deque
from math import inf


# 表示4个方向的方向数组
DIRECTIONS = [(0,1), (1,0), (-1,0), (0,-1)]

# 输入地图边长
n = int(input())
grid = list()
# 循环n行，输入地图
for _ in range(n):
    grid.append(list(map(int, input().split())))


for i in range(n):
    for j in range(n):
        # 找到妈妈所在的位置，作为起点
        if grid[i][j] == -3:
            sx, sy = i, j
        # 找到孩子所在的位置，作为起点
        if grid[i][j] == -2:
            tx, ty = i, j

# BFS搜索层数，初始化为0，用于表示最短路径长度
level = 0
# 是否找到孩子的标记
isFind = False
# 检查数组
check_list = [[0] * n for _ in range(n)]
check_list[sx][sy] = 1
# 维护BFS过程的队列
q = deque()
q.append((sx, sy))
# 进行第一次BFS，找到最短路径长度level
while q:
    qSize = len(q)
    # 当前搜索层的每一个节点
    for _ in range(qSize):
        x, y = q.popleft()
        # 如果当前点是孩子，直接退出循环
        if grid[x][y] == -2:
            isFind = True
            break
        # 遍历四个方向
        for dx, dy in DIRECTIONS:
            nx, ny = x+dx, y+dy
            # 判断是否越界、是否已进入、在矩阵中的值
            if 0 <= nx < n and 0 <= ny < n and check_list[nx][ny] == 0 and grid[nx][ny] != -1:
                check_list[nx][ny] = 1
                q.append((nx, ny))
    if isFind:
        break
    # 搜索层数+1
    level += 1

# 如果第一次BFS过程中，妈妈不能找到孩子，则直接返回-1
if not isFind:
    print(-1)
# 否则才可以继续后续过程
else:
    # 从起点出发，再做一次BFS
    # 类似dp过程，构建一个二维dp数组，
    # dp[i][j]表示进入位置(i, j)能获得的最多糖果数
    # 如果现在从位置(i, j)进入位置(ni, nj)
    # 那么存在动态转移方程如下
    # 当(ni, nj)不是孩子位置时
    # dp[ni][nj] = max(dp[ni][nj], dp[i][j] + grid[ni][nj])
    # 当(ni, nj)是孩子位置时
    # dp[ni][nj] = max(dp[ni][nj], dp[i][j])

    # 初始化dp数组，dp数组可以起到checklist的作用，因此无需额外构建checklist
    dp = [[-1] * n for _ in range(n)]
    dp[sx][sy] = 0
    # 初始化队列
    q = deque()
    q.append((sx, sy))
    # 再次进行BFS，但由于只能搜索level层，因此需要修改BFS循环条件
    while level >= 0:
        qSize = len(q)
        # 当前搜索层的每一个节点
        for _ in range(qSize):
            x, y = q.popleft()
            # 遍历四个方向
            for dx, dy in DIRECTIONS:
                nx, ny = x + dx, y + dy
                # 判断是否越界、在地图中的值
                if 0 <= nx < n and 0 <= ny < n and grid[nx][ny] != -1:
                    # 此处dp数组作为check_list的作用
                    # 如果dp[nx][ny]为-1，说明尚未被检查过，可以加入队中
                    if dp[nx][ny] == -1:
                        q.append((nx, ny))
                    # 进行动态转移
                    if grid[nx][ny] != -2:
                        dp[nx][ny] = max(dp[nx][ny], dp[x][y] + grid[nx][ny])
                    else:
                        dp[nx][ny] = max(dp[nx][ny], dp[x][y])
        # 搜索层数-1
        level -= 1
    # 退出循环后，孩子所在位置(tx, ty)在dp数组中的值dp[tx][ty]即为答案
    print(dp[tx][ty])

Java

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Deque;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int[][] DIRECTIONS = {{0, 1}, {1, 0}, {-1, 0}, {0, -1}};

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int[][] grid = new int[n][n];

        int sx = 0, sy = 0, tx = 0, ty = 0;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                grid[i][j] = scanner.nextInt();
                if (grid[i][j] == -3) {
                    sx = i;
                    sy = j;
                }
                if (grid[i][j] == -2) {
                    tx = i;
                    ty = j;
                }
            }
        }

        int level = 0;
        boolean isFind = false;
        int[][] checkList = new int[n][n];
        checkList[sx][sy] = 1;
        Deque<int[]> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(new int[]{sx, sy});

        while (!queue.isEmpty()) {
            int qSize = queue.size();
            for (int i = 0; i < qSize; i++) {
                int[] current = queue.poll();
                int x = current[0];
                int y = current[1];
                if (grid[x][y] == -2) {
                    isFind = true;
                    break;
                }
                for (int[] dir : DIRECTIONS) {
                    int nx = x + dir[0];
                    int ny = y + dir[1];
                    if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < n && checkList[nx][ny] == 0 && grid[nx][ny] != -1) {
                        checkList[nx][ny] = 1;
                        queue.offer(new int[]{nx, ny});
                    }
                }
            }
            if (isFind) {
                break;
            }
            level++;
        }

        if (!isFind) {
            System.out.println(-1);
        } else {
            int[][] dp = new int[n][n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    dp[i][j] = -1;
                }
            }
            dp[sx][sy] = 0;
            queue.clear();
            queue.offer(new int[]{sx, sy});
            while (level >= 0) {
                int qSize = queue.size();
                for (int i = 0; i < qSize; i++) {
                    int[] current = queue.poll();
                    int x = current[0];
                    int y = current[1];
                    for (int[] dir : DIRECTIONS) {
                        int nx = x + dir[0];
                        int ny = y + dir[1];
                        if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < n && grid[nx][ny] != -1) {
                            if (dp[nx][ny] == -1) {
                                queue.offer(new int[]{nx, ny});
                            }
                            if (grid[nx][ny] != -2) {
                                dp[nx][ny] = Math.max(dp[nx][ny], dp[x][y] + grid[nx][ny]);
                            } else {
                                dp[nx][ny] = Math.max(dp[nx][ny], dp[x][y]);
                            }
                        }
                    }
                }
                level--;
            }
            System.out.println(dp[tx][ty]);
        }
    }
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

const vector<vector<int>> DIRECTIONS = {{0, 1}, {1, 0}, {-1, 0}, {0, -1}};

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(n));

    int sx = 0, sy = 0, tx = 0, ty = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> grid[i][j];
            if (grid[i][j] == -3) {
                sx = i;
                sy = j;
            }
            if (grid[i][j] == -2) {
                tx = i;
                ty = j;
            }
        }
    }

    int level = 0;
    bool isFind = false;
    vector<vector<int>> checkList(n, vector<int>(n, 0));
    checkList[sx][sy] = 1;
    queue<pair<int, int>> q;
    q.push({sx, sy});

    while (!q.empty()) {
        int qSize = q.size();
        for (int i = 0; i < qSize; i++) {
            auto current = q.front();
            q.pop();
            int x = current.first;
            int y = current.second;
            if (grid[x][y] == -2) {
                isFind = true;
                break;
            }
            for (auto dir : DIRECTIONS) {
                int nx = x + dir[0];
                int ny = y + dir[1];
                if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < n && checkList[nx][ny] == 0 && grid[nx][ny] != -1) {
                    checkList[nx][ny] = 1;
                    q.push({nx, ny});
                }
            }
        }
        if (isFind) {
            break;
        }
        level++;
    }

    if (!isFind) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, -1));
        dp[sx][sy] = 0;
        q = queue<pair<int, int>>();
        q.push({sx, sy});
        while (level >= 0) {
            int qSize = q.size();
            for (int i = 0; i < qSize; i++) {
                auto current = q.front();
                q.pop();
                int x = current.first;
                int y = current.second;
                for (auto dir : DIRECTIONS) {
                    int nx = x + dir[0];
                    int ny = y + dir[1];
                    if (nx >= 0 && nx < n && ny >= 0 && ny < n && grid[nx][ny] != -1) {
                        if (dp[nx][ny] == -1) {
                            q.push({nx, ny});
                        }
                        if (grid[nx][ny] != -2) {
                            dp[nx][ny] = max(dp[nx][ny], dp[x][y] + grid[nx][ny]);
                        } else {
                            dp[nx][ny] = max(dp[nx][ny], dp[x][y]);
                        }
                    }
                }
            }
            level--;
        }
        cout << dp[tx][ty] << endl;
    }

    return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N^2)。

空间复杂度：O(N^2)。