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【二分查找】2024E-部门人力分配

【二分查找】2024E-部门人力分配

题目描述与示例

本题练习地址：https://www.algomooc.com/problem/P3307

题目描述

部门在进行需求开发时需要进行人力安排。当前部门需要完成 N 个需求，需求用 requirements[i] 表示，requirements[i] 表示第 i 个需求的工作量大小，单位：人月。这部分需求需要在 M 个月内完成开发，进行人力安排后每个月的人力是固定的。

目前要求每个月最多有 2 个需求开发，并且每个月需要完成的需求不能超过部门人力。请帮部门评估在满足需求开发进度的情况下，每个月需要的最小人力是多少？

输入描述

输入第一行为 M ，第二行为 requirements 。

M 表示需要开发时间要求，requirements 表示每个需求工作量大小

N` 为 `requirements` 长度，`1 ≤ N / 2 ≤ M ≤ N ≤ 10000`，`1 ≤ requirements[i]≤ 10^9

输出描述

对于每一组测试数据，输出部门需要人力需求，行末无多余的空格。

示例

输入

3
3 5 3 4

输出

6

说明

输入数据两行，第一行输入数据 3 表示开发时间要求，第二行输入数据表示需求工作量大小，输出数据一行，表示部门人力需求。

当选择人力为6时，2个需求量为3的工作可以在1个月里完成，其他2个工作各需要1个月完成。可以在3个月内完成所有需求。

当选择人力为5时，4个工作各需要1个月完成，一共需要4个月才能完成所有需求。

因此6是部门最小的人力需求。

解题思路

题目描述不是特别清晰，只能通过示例进行反推。

考虑子问题，在设置人力需求为**k**时，需要多少个月能够完成所有工作。这个子问题与课上讲过的LeetCode881. 救生艇是完全一致的。

子问题中的人力需求k就等价于救生艇中的最大承重limit，且每次选择都只能至多选择数组中的两个元素。该子问题使用排序+双指针+贪心的策略来完成，其代码如下

def check(k, nums):
    left, right, ans = 0, len(nums) - 1, 0
    while left <= right:
        if nums[left] + nums[right] > k:
            right -= 1
        else:
            left += 1
            right -= 1
        ans += 1
    return ans

注意nums数组必须先排序，才可以使用上述的贪心策略。

再得到check函数之后，就需要找到一个适合的k了。显然k的取值是存在二段性的：

  • 当k很小时，需要N个月才能完成工作，即每一个月都只能完成1个工作
  • 当k很大时，可以只花N/2个月就完成工作，即每一个月都可以完成2个工作
  • 又因为N/2 ≤ M ≤ N成立，故一定存在一个k，恰好能够在M个月内完成工作

因此考虑二分查找完成本题。其主要代码如下

left, right = max(nums), sum(nums) + 1

while left < right:
    mid = left + (right - left) // 2
    if check(mid, nums) <= m:
        right = mid
    else:
        left = mid + 1

print(left)

PS：本题综合性比较强，同时涉及了双指针、贪心和二分查找，还需要大家多加练习以将所有知识融会贯通。

代码

Python

# 题目：【二分查找】2024E-部门人力分配
# 分值：200
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：二分查找/贪心
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问
# 相关题目：LeetCode881.救生艇


m = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
# 对nums数组进行排序，方便后续每一次二分中的贪心过程
nums.sort()

# 子问题
# 计算在人力需求为k时
# 需要最少多少个月才能完成所有需求nums
def check(k, nums):
    # 初始化left和right两个指针，指向一头一尾；初始化答案变量ans
    left, right, ans = 0, len(nums) - 1, 0
    # 进行循环，退出循环条件为两指针相遇，表示需求都完成
    while left <= right:
        # 如果两个工作所需人数超过了k
        # 则这个月只能完成需求人数多的工作nums[right]，right左移
        if nums[left] + nums[right] > k:
            right -= 1
        # 如果两个工作所需人数超过了k
        # 则这个月可以同时完成nums[left]和nums[right]这两个工作，left右移、right左移
        else:
            left += 1
            right -= 1
        # 每轮匹配，都会多一个月来工作，更新ans变量
        ans += 1
    return ans


# 二分查找
# 设置做左闭右开区间：
# 人力需求的最小值为nums数组中的最大值，
# 否则max(nums)这个工作无法在一个月内完成
# 人力需求的最大值为nums数组中的两个最大元素相加，
# 这里取一个更加宽松的上限sum(nums)，考虑闭区间为sum(nums)+1
left, right = max(nums), sum(nums) + 1

# 进行二分
while left < right:
    mid = left + (right - left) // 2
    # 如果在人力需求取mid时，所花费时间不超过m
    # 那么说明人力需求还有富余，right左移令搜索空间向左折半
    if check(mid, nums) <= m:
        right = mid
    # 如果在人力需求取mid时，所花费时间超过m
    # 那么说明人力需求有所紧缺，left右移令搜索空间向右折半
    else:
        left = mid + 1


# 退出二分查找时，k = right = left是使得check(k, nums)恰好 ≤ m的第一个人力需求指
# 即为答案
print(left)

Java

import java.util.*;

public class Main {
    public static int check(int k, List<Integer> nums) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1, ans = 0;
        while (left <= right) {
            if (nums.get(left) + nums.get(right) > k) {
                right--;
            } else {
                left++;
                right--;
            }
            ans++;
        }
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int m = scanner.nextInt();
        
        List<Integer> nums = new ArrayList<>();
        while (scanner.hasNextInt()) {
            nums.add(scanner.nextInt());
        }
        Collections.sort(nums);

        int left = Collections.max(nums);
        int right = nums.stream().mapToInt(Integer::intValue).sum() + 1;

        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (check(mid, nums) <= m) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }

        System.out.println(left);
    }
}

C++

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric>

using namespace std;

int check(int k, vector<int>& nums) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1, ans = 0;
    while (left <= right) {
        if (nums[left] + nums[right] > k) {
            right--;
        } else {
            left++;
            right--;
        }
        ans++;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int m;
    cin >> m;

    vector<int> nums;
    int num;
    while (cin >> num) {
        nums.push_back(num);
    }
    sort(nums.begin(), nums.end());

    int left = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    int right = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0) + 1;

    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (check(mid, nums) <= m) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }

    cout << left << endl;

    return 0;
}

C

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 辅助函数：计算在人力需求为 k 时，最少需要多少个月才能完成所有需求 nums
int check(int k, int *nums, int n) {
    int left = 0, right = n - 1, ans = 0;
    // 使用左右指针进行贪心匹配
    while (left <= right) {
        // 如果两个工作所需人数超过了 k，则只能完成需求人数多的工作
        if (nums[left] + nums[right] > k) {
            right--;
        } else { // 否则可以同时完成这两个工作
            left++;
            right--;
        }
        // 每轮匹配都会占用一个月的时间
        ans++;
    }
    return ans;
}

// 比较函数：用于 qsort() 对数组进行排序
int compare(const void *a, const void *b) {
    return *(int *)a - *(int *)b;
}

int main() {
    int m;
    // 读取人力可用的总月数 m
    scanf("%d", &m);

    // 动态分配 nums 数组
    int *nums = (int *)malloc(10000 * sizeof(int)); // 假设最多有 10000 个数字
    int n = 0, num;
    // 读取 nums 数组，直到输入结束
    while (scanf("%d", &num) != EOF) {
        nums[n++] = num;
    }

    // 对 nums 数组进行排序，便于后续贪心匹配
    qsort(nums, n, sizeof(int), compare);

    // 获取 nums 数组中的最大值和总和
    int left = nums[n - 1]; // 最大值
    int right = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        right += nums[i]; // 总和
    }
    right += 1;

    // 进行二分查找
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // 如果在人力需求取 mid 时，所需时间不超过 m
        if (check(mid, nums, n) <= m) {
            right = mid; // 缩小右边界
        } else {
            left = mid + 1; // 增大左边界
        }
    }

    // 输出最终结果
    printf("%d\n", left);

    // 释放分配的内存
    free(nums);

    return 0;
}

Node JavaScript

const readline = require("readline");

// 创建读取接口
const rl = readline.createInterface({
    input: process.stdin,
    output: process.stdout
});

rl.question("", (mInput) => {
    const m = parseInt(mInput.trim());
    rl.question("", (numsInput) => {
        const nums = numsInput.trim().split(" ").map(Number);

        // 对nums数组进行排序，方便后续每一次二分中的贪心过程
        nums.sort((a, b) => a - b);

        // 子问题：计算在人力需求为k时，需要最少多少个月才能完成所有需求nums
        function check(k, nums) {
            let left = 0, right = nums.length - 1, ans = 0;
            // 进行循环，退出循环条件为两指针相遇，表示需求都完成
            while (left <= right) {
                // 如果两个工作所需人数超过了k，则只能完成需求人数多的工作
                if (nums[left] + nums[right] > k) {
                    right--;
                } else { // 否则可以同时完成两个工作
                    left++;
                    right--;
                }
                // 每轮匹配增加一个月来工作
                ans++;
            }
            return ans;
        }

        // 二分查找
        let left = Math.max(...nums); // 人力需求的最小值为nums数组中的最大值
        let right = nums.reduce((a, b) => a + b, 0) + 1; // 取一个宽松的上限

        // 进行二分
        while (left < right) {
            const mid = Math.floor(left + (right - left) / 2);
            // 如果在人力需求取mid时，所花费时间不超过m
            if (check(mid, nums) <= m) {
                right = mid;
            } else { // 否则人力需求紧缺
                left = mid + 1;
            }
        }

        // 输出最终的答案
        console.log(left);
        rl.close();
    });
});

Go

package main

import (
    "bufio"
    "fmt"
    "os"
    "sort"
    "strconv"
    "strings"
)

func main() {
    reader := bufio.NewReader(os.Stdin)

    // 读取m
    mInput, _ := reader.ReadString('\n')
    m, _ := strconv.Atoi(strings.TrimSpace(mInput))

    // 读取nums数组
    numsInput, _ := reader.ReadString('\n')
    numsStr := strings.Fields(numsInput)
    nums := make([]int, len(numsStr))
    for i, s := range numsStr {
        nums[i], _ = strconv.Atoi(s)
    }

    // 对nums数组进行排序
    sort.Ints(nums)

    // 子问题：计算在人力需求为k时，需要最少多少个月才能完成所有需求nums
    check := func(k int, nums []int) int {
        left, right, ans := 0, len(nums)-1, 0
        // 进行循环，退出循环条件为两指针相遇，表示需求都完成
        for left <= right {
            if nums[left]+nums[right] > k { // 如果两个工作所需人数超过了k
                right--
            } else { // 否则可以同时完成两个工作
                left++
                right--
            }
            ans++
        }
        return ans
    }

    // 二分查找
    left, right := max(nums), sum(nums)+1

    // 进行二分
    for left < right {
        mid := left + (right-left)/2
        if check(mid, nums) <= m { // 如果所花费时间不超过m
            right = mid
        } else { // 否则人力需求紧缺
            left = mid + 1
        }
    }

    // 输出最终的答案
    fmt.Println(left)
}

// 辅助函数：计算数组中的最大值
func max(nums []int) int {
    maxVal := nums[0]
    for _, num := range nums {
        if num > maxVal {
            maxVal = num
        }
    }
    return maxVal
}

// 辅助函数：计算数组元素的总和
func sum(nums []int) int {
    total := 0
    for _, num := range nums {
        total += num
    }
    return total
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N(logN+logU))。排序所需的时间复杂度为O(NlogN)。单次check()函数所需时间复杂度为O(N)，二分查找的范围区间为U = sum(nums) - max(nums)，故总的二分查找所需时间复杂度为O(NlogU)

空间复杂度：O(1)。忽略排序所需编译栈空间，仅需若干常数变量。

本题易错点

左指针初始化问题

初始化二分查找的两个指针left和right的时候（注意是二分的双指针，不是子问题的双指针），有些同学会把left初始化为0，即

# 错误的二分双指针初始化方式
left, right = 0, sum(nums) + 1

假设设置了left = 0，那么计算出来的mid = (left + right) // 2（即子问题的人力需求k）很可能小于requirements数组中的最大元素，这使得这个最大需求必然不可能在人力需求为k的条件下完成。

譬如，最大需求的工作量为6，计算出k = 3，那么这个工作量为6的需求一定无法在一个月内完成。

而题目要求，每单个需求都必须在一个月内完成。所以left的错误初始化，会使得mid或k的计算偏小，传入子问题函数check(k, nums)之后，不符合实际情况，最终导致计算出来的结果错误。

如果一定要写成这样的初始化，由于我们知道可能会使得k偏小，在这种情况发生时，二分过程的left指针必须右移使搜索区间向右折半，才能使得k回到正确的范围。因此当这种情况发生时，对应的二分分支是

elif check(mid, nums) > m:
    left = mid + 1

同时我们需要修改check(k, nums)函数，加上关于nums[right] > k的判断，这种情况一旦发生，直接return一个超过m的值即可。即

def check(k, nums):
    left, right, ans = 0, len(nums) - 1, 0
    while left <= right:
        # 添加以下if分支，一旦出现nums[right]大于k，直接返回一个大于m的数
        if nums[right] > k:
            return m+1
        if nums[left] + nums[right] > k:
            right -= 1
        else:
            left += 1
            right -= 1
        ans += 1
    return ans

综上修改后的整体代码为

m = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
nums.sort()


def check(k, nums):
    left, right, ans = 0, len(nums) - 1, 0
    while left <= right:
        # 添加以下if分支，一旦出现nums[right]大于k，直接返回一个大于m的数
        if nums[right] > k:
            return m+1
        if nums[left] + nums[right] > k:
            right -= 1
        else:
            left += 1
            right -= 1
        ans += 1
    return ans


# left初始化为0
left, right = 0, sum(nums) + 1

while left < right:
    mid = left + (right - left) // 2
    if check(mid, nums) <= m:
        right = mid
    # 当check(k, nums)进入if nums[right] > k的分支时，返回m+1
    # 会进入这个else分支，使得left右移
    else:
        left = mid + 1

print(left)
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